گرایش و تنوع اصلی

اقدامات گرایش اصلی: دسته بندی ها یا نمرات که توصیف می کنند "متوسط" یا "معمولی" توزیع معین است. این موارد شامل حالت ، متوسط و میانگین است. صدک: نمره ای که در زیر آن درصد مشخصی از توزیع معین قرار می گیرد. توزیع مثبت: توزیع با تعداد انگشت شماری از مقادیر بسیار بزرگ. توزیع منفی: توزیع با تعداد انگشت شماری از ارزش های بسیار کم. اقدامات تنوع: اعدادی که تنوع یا پراکندگی در توزیع یک متغیر معین را توصیف می کنند. طرح جعبه: نمایش گرافیکی از دامنه ، دامنه بین قشر و میانگین یک متغیر معین.

حالت

حالت دسته ای با بیشترین فرکانس (یا درصد) است. این فرکانس نیست. به عبارت دیگر ، اگر کسی از شما بخواهد نحوه توزیع نشان داده شده در زیر را بخواهد ، جواب نارگیل خواهد بود ، نه 22. این امکان وجود دارد که بیش از یک حالت در توزیع داشته باشید. چنین توزیع هایی دوتایی (در صورت وجود دو حالت) یا چند حالته (در صورت وجود بیش از دو حالت) در نظر گرفته می شوند. گفته می شود توزیع بدون حالت واضح یکنواخت است. این حالت به ویژه مفید نیست ، اما تنها اندازه گیری گرایش اصلی است که می توانیم با متغیرهای اسمی از آن استفاده کنیم. خواهید فهمید که چرا این تنها اندازه مناسب برای متغیرهای اسمی است زیرا ما در مورد میانه و میانگین بعدی می آموزیم.

طعم های مورد علاقه بستنی:

نارگیل = 22 شکلات = 15 وانیل = 7 توت فرنگی = 9

میانه

میانه شماره میانی است. به عبارت دیگر ، این عدد است که توزیع را دقیقاً به نصف تقسیم می کند به گونه ای که نیمی از موارد بالاتر از میانه هستند و نیمی از آنها در زیر است. همچنین به عنوان صدک 50 شناخته می شود و می توان آن را برای متغیرهای معمولی و فاصله/نسبت محاسبه کرد. از نظر مفهومی ، پیدا کردن میانه نسبتاً ساده است و فقط مستلزم قرار دادن تمام مشاهدات شما به ترتیب از حداقل به بزرگترین و سپس پیدا کردن هر تعداد در وسط است. توجه داشته باشید که پیدا کردن میانه نیاز به سفارش اولی از حداقل تا بزرگترین مشاهدات دارد. به همین دلیل است که میانه اندازه گیری مناسبی از گرایش اصلی برای متغیرهای اسمی نیست ، زیرا متغیرهای اسمی نظم ذاتی ندارند.(در عمل ، پیدا کردن میانه می تواند کمی بیشتر درگیر باشد ، به خصوص اگر تعداد زیادی از مشاهدات دارید - کتاب درسی خود را برای توضیح چگونگی یافتن مدیان در چنین شرایطی مشاهده کنید).

برخی از شما احتمالاً در حال حاضر تعجب می کنید ، "اگر تعداد حتی مواردی داشته باشید چه اتفاقی می افتد؟ پس از آن تعداد میانی وجود نخواهد داشت ، درست است؟"این یک مشاهده بسیار حیرت انگیز است ، و خوشحالم که از شما پرسیدید. اگر مجموعه داده شما تعداد حتی مواردی دارد ، میانگین میانگین دو شماره میانی است. به عنوان مثال ، برای اعداد 18 ، 14 ، 12 ، 8 ، 6 و 4 ، میانه 10 (12 + 8 = 20 ؛ 20/2 = 10) است.

یکی از مزایای متوسط این است که نسبت به Outliers حساس نیست. Outlier مشاهده ای است که فاصله غیر طبیعی از مقادیر دیگر در یک نمونه قرار دارد. مشاهداتی که به طور قابل توجهی بزرگتر یا کوچکتر از سایرین در یک نمونه هستند می توانند برخی از اقدامات آماری را به گونه ای تحت تأثیر قرار دهند که باعث می شود آنها بسیار گمراه کننده باشند ، اما میانه از آنها مصون است. به عبارت دیگر ، مهم نیست که بیشترین تعداد 20 یا 20،000 باشد. هنوز هم فقط به عنوان یک شماره حساب می شود. موارد زیر را در نظر بگیرید:

توزیع 1: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 20 توزیع 2: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 20،000

این دو توزیع دارای واسطه یکسان هستند حتی اگر توزیع 2 دارای یک سطح بسیار بزرگ باشد ، که می تواند میانگین را به طور قابل توجهی کم کند ، همانطور که فقط در یک لحظه خواهیم دید.

میانگین

میانگین آن چیزی است که افراد به طور معمول از آن به عنوان "متوسط" یاد می کنند. این بالاترین اندازه از گرایش مرکزی است ، که منظور من این است که فقط با متغیرهای فاصله/نسبت برای استفاده در دسترس است. میانگین ارزش هر مشاهده را در نظر می گیرد و بنابراین بیشترین اطلاعات را در مورد هر اندازه گیری از گرایش مرکزی ارائه می دهد. با این حال ، برخلاف میانه ، میانگین به Outliers حساس است. به عبارت دیگر ، یک مقدار فوق العاده بالا (یا کم) در مجموعه داده شما می تواند میانگین را به طرز چشمگیری (یا پایین تر) افزایش دهد. میانگین ، که اغلب به عنوان متغیر X یا Y با یک خط بر روی آن نشان داده می شود ("X-Bar" یا "Y-Bar" تلفظ می شود) ، مجموع نمرات تقسیم شده بر تعداد کل نمرات است. در نماد آماری ، ما آن را به شرح زیر می نویسیم:

در این معادله ، میانگین ، x مقدار هر مورد را نشان می دهد و n تعداد کل موارد است. سیگما (σ) فقط به ما می گوید که همه نمرات را با هم اضافه کنیم. این واقعیت که محاسبه میانگین نیاز به افزودن و تقسیم دارد ، به همین دلیل است که نمی توان از آن با متغیرهای اسمی یا منظم استفاده کرد. ما نمی توانیم میانگین مسابقه را محاسبه کنیم (سفید + سفید + سیاه/3 =؟) بیشتر از آنچه می توانیم میانگین سال را در مدرسه محاسبه کنیم (اول سال اول + اولمان + ارشد/3 =؟)

صدف

صدک عددی است که در زیر درصد مشخصی از توزیع قرار می گیرد. به عنوان مثال ، اگر در یک درصد 90 در یک آزمون نمره کسب کنید ، 90 درصد از دانش آموزانی که آزمون را در زیر شما کسب کرده اند. اگر در صدک 72 در یک آزمون نمره کسب کنید ، 72 درصد از دانش آموزانی که آزمون را در زیر شما به دست آوردند. اگر در صدک 5 در یک آزمون به ثمر برسد ، شاید این موضوع برای شما نباشد. شما به یاد می آورید که این میانه در صدک 50 قرار دارد. پنجاه درصد از مشاهدات زیر آن قرار می گیرند.

توزیع های متقارن در مقابل skewed

توزیع متقارن توزیع است که در آن میانگین ، میانه و حالت یکسان است. از طرف دیگر ، توزیع ناچیز توزیع با مقادیر شدید از یک طرف یا طرف دیگر است که میانه را از یک جهت یا طرف دیگر دور می کند. اگر میانگین بیشتر از میانه باشد ، گفته می شود که توزیع به طور مثبت کمرنگ است. به عبارت دیگر ، یک مقدار بسیار بزرگ وجود دارد که میانگین را به سمت انتهای فوقانی توزیع می کند. اگر میانگین از میانه کوچکتر باشد ، گفته می شود که توزیع منفی است. به عبارت دیگر ، یک مقدار بسیار اندک وجود دارد که "میانگین" را به سمت انتهای پایین توزیع می کند. توزیع درآمد معمولاً به لطف تعداد کمی از افرادی که مبلغ غیرقانونی پول می گیرند ، به طور مثبت کاهش می یابد. پرونده (مسلماً تاریخ) بازیکنان اصلی فوتبال لیگ را به عنوان نمونه ای شدید در نظر بگیرید. میانگین حقوق سالانه یک بازیکن MLS در سال 2010 تقریباً 138،000 دلار بود ، اما حقوق متوسط سالانه فقط حدود 53،000 دلار بود. میانگین تقریباً سه برابر بزرگتر از میانه بود ، به لطف هیچ بخش کوچکی از 12 میلیون دلار حقوق دیوید بکهام.

هنگامی که تصمیم می گیرید از کدام معیار گرایش مرکزی استفاده کنید، باید هم سطح اندازه گیری و هم چولگی را در نظر بگیرید. این در مورد متغیرهای اسمی و ترتیبی چندان صدق نمی کند. اگر متغیر اسمی باشد، بدیهی است که حالت تنها معیار تمایل مرکزی به استفاده است. اگر متغیر ترتیبی است، میانه احتمالاً بهترین گزینه برای شماست زیرا اطلاعات بیشتری در مورد نمونه نسبت به حالت ارائه می دهد. اما اگر متغیر بازه/نسبت باشد، باید تعیین کنید که آیا توزیع متقارن است یا اریب. اگر توزیع متقارن باشد، میانگین بهترین معیار برای گرایش مرکزی است. اگر توزیع به صورت مثبت یا منفی منحرف شود، میانه دقیق تر است. به عنوان مثالی از این که چرا میانگین ممکن است بهترین معیار برای سنجش گرایش مرکزی برای توزیع اریب نباشد، قسمت زیر را از آمار برهنه چارلز ویلن در نظر بگیرید: حذف ترس از داده ها (2013):

"متوسط یا میانگین، مشخص می شود که مشکلاتی دارد، یعنی اینکه مستعد تحریف توسط "غیرطبیعی" است، که مشاهداتی هستند که دورتر از مرکز قرار دارند. برای اینکه ذهن خود را در مورد این مفهوم دریابید، تصور کنید که ده نفرنشستن روی چهارپایه های بار در یک مؤسسه نوشیدنی طبقه متوسط در سیاتل؛ هر یک از این افراد 35000 دلار در سال درآمد دارند که میانگین درآمد سالانه گروه را 35000 دلار می کند. طوطی ربطی به مثال ندارد، اما به نوعی چیزها را ادویه می کند.) برای مثال فرض می کنیم که بیل گیتس درآمد سالانه 1 میلیارد دلاری دارد. درآمد سالانه مشتریان بار به حدود 91 میلیون دلار افزایش می یابد. بدیهی است که هیچ یک از ده نوشیدنی اصلی ثروتمندتر نیستند (اگرچه ممکن است انتظار داشته باشیم که بیل گیتس یک یا دو دور خرید کند). اگر بخواهم مشتریان این بار را توصیف کنم. به عنوان داشتن متوسط درآمد سالانه 91 مایل دلاربیش از یک میلیون، این بیانیه هم از نظر آماری صحیح و هم به شدت گمراه کننده خواهد بود [توجه: میانه بدون تغییر باقی می ماند]. اینجا باری نیست که مولتی میلیونرها در آن معاشرت کنند. این یک بار است که در آن تعدادی از افراد با درآمد نسبتاً پایین در کنار بیل گیتس و طوطی سخنگوش نشسته اند."

معیارهای تغییرپذیری

علاوه بر تعیین معیارهای گرایش مرکزی، ممکن است لازم باشد مقدار تنوعی که در توزیع خود داریم را خلاصه کنیم. به عبارت دیگر، ما باید تعیین کنیم که آیا مشاهدات تمایل دارند با هم خوشه شوند یا اینکه تمایل به پخش شدن دارند. به مثال زیر توجه کنید:

هر دوی این نمونه ها دارای میانگین های یکسان (5) و تعداد مشاهدات یکسان (n = 5) هستند، اما میزان تغییرات بین دو نمونه به طور قابل توجهی متفاوت است. نمونه 2 تغییرپذیری ندارد (همه نمرات دقیقاً یکسان هستند)، در حالی که نمونه 1 نسبتاً بیشتر است (یک مورد به طور قابل توجهی با چهار مورد دیگر متفاوت است). در این دوره، چهار معیار تغییرپذیری را بررسی خواهیم کرد: محدوده، محدوده بین چارکی (IQR)، واریانس و انحراف استاندارد.

محدوده

محدوده، تفاوت بین بالاترین و کمترین امتیاز در یک مجموعه داده است و ساده ترین اندازه گیری گسترش است. ما محدوده را با کم کردن کوچکترین مقدار از بزرگترین مقدار محاسبه می کنیم. به عنوان مثال، اجازه دهید مجموعه داده های زیر را در نظر بگیریم: