Martingale (تئوری احتمال)

در تئوری احتمال ، یک مارتینگال یک فرآیند تصادفی (یعنی دنباله ای از متغیرهای تصادفی) است به گونه ای که مقدار مورد انتظار مشروط یک مشاهده در بعضی از زمان ها ، با توجه به تمام مشاهدات تا زمان زودرس ، برابر با مشاهده استآن زمان اولیه s. تعاریف دقیق در زیر آورده شده است.

فهرست

تاریخ

در ابتدا ، مارتینگاله به طبقه ای از استراتژی های شرط بندی اشاره کرد که در قرن 18th فرانسه محبوب بود.[1] ساده ترین این استراتژی ها برای یک بازی طراحی شده است که در آن قمارباز برنده سهام خود می شود اگر یک سکه به سر بیاید و اگر سکه به وجود بیاید ، آن را از دست می دهد. این استراتژی این قمار را پس از هر باخت دو برابر کرده است ، به طوری که پیروزی اول تمام ضررهای قبلی را به همراه کسب سود برابر با سهام اصلی بازیابی می کند. از آنجا که به عنوان ثروت قمارباز و زمان موجود به طور مشترک به بی نهایت نزدیک می شود احتمال وی در نهایت رو به رو به رویکرد 1 ، استراتژی شرط بندی مارتینگاله توسط کسانی که آن را تمرین می کردند به عنوان یک چیز مطمئن دیده می شد. البته در حقیقت ، رشد نمایی شرط ها در نهایت آن دسته از احمقانه ها را ورشکسته می کند که برای مدت طولانی از مارتینگیل استفاده کنند.

مفهوم Martingale در تئوری احتمال توسط پل پیر لوی معرفی شده است و بخش عمده ای از پیشرفت اصلی این تئوری توسط جوزف لئو دووب انجام شده است. بخشی از انگیزه این کار نشان دادن عدم امکان استراتژی های شرط بندی موفق بود.

تعاریف

یک مارتینگال در زمان گسسته یک فرآیند تصادفی در زمان گسسته است (یعنی دنباله ای از متغیرهای تصادفی) x₁، ایکس₂، ایکس₃،که برای همه n برآورده می شود

یعنی مقدار مورد انتظار مشروط مشاهده بعدی ، با توجه به تمام مشاهدات گذشته ، برابر با آخرین مشاهده است.

به طور کلی ، یک دنباله y₁، y₂، y₃،گفته می شود که با توجه به دنباله دیگر X یک مارتینگال است₁، ایکس₂، اگر برای همه n

به همین ترتیب ، یک مارتینگال به موقع با توجه به روند تصادفی x_حرفیک فرآیند تصادفی y است_حرفبه گونه ای که برای همه t

این ویژگی را بیان می کند که انتظار مشروط از یک مشاهده در زمان t ، با توجه به تمام مشاهدات تا زمان$s$، برابر با مشاهده در زمان S (البته ، به شرط آنکه S ≤ t باشد).

در کلیت کامل ، یک فرآیند تصادفی y: t × ω → S یک مارتینگال با توجه به فیلتراسیون σ است_∗و احتمال اندازه p اگر

• Σ_∗تصفیه فضای احتمال اساسی (ω ، σ ، P) است.
• y با فیلتراسیون σ سازگار است_∗، یعنی ، برای هر t در مجموعه شاخص t ، متغیر تصادفی y_حرفσ است_حرفعملکرد قابل اندازه گیری ؛
• برای هر t ، y_حرفدر فضای L P L 1 قرار دارد (ω ، σ_حرف، پ ؛S) ، یعنی

• برای همه S و T با Sحرف,

توجه به این نکته حائز اهمیت است که خاصیت مارتینگیل هم شامل فیلتراسیون و هم اندازه گیری احتمال (با توجه به انتظارات) است. این امکان وجود دارد که y با توجه به یک اندازه گیری ، یک مارتینگال باشد اما دیگری نیست. قضیه Girsanov راهی برای یافتن معیاری با توجه به اینکه یک فرایند Itō یک مارتینگال است ، ارائه می دهد.

نمونه هایی از Martingales

• فرض کنید x_حرفثروت قمارباز پس از n پرتاب یک سکه "عادلانه" است ، جایی که قمارباز 1 دلار برنده می شود اگر سکه به سر بیاید و اگر سکه به پایین بیاید 1 دلار از دست می دهد. پس از محاکمه بعدی ، با توجه به تاریخ ، با ثروت فعلی او برابر است ، با توجه به تاریخ ، با ثروت فعلی او برابر است ، بنابراین این سکانس یک مارتینگال است. این همچنین به عنوان سیستم D'Alembert شناخته می شود.

• بگذار y_حرف= x_حرف2 - n که در آن x_حرفثروت قمارباز از مثال قبلی است. سپس دنبالهحرف : n = 1, 2, 3, .>یک مارتینگال استاین می تواند مورد استفاده قرار گیرد تا نشان دهد که افزایش یا از دست دادن کل قمارباز تقریباً بین به علاوه یا منهای ریشه مربع تعداد مراحل متفاوت است.

• (مارتینگاله د Moivre) اکنون یک سکه "ناعادلانه" یا "مغرضانه" فرض کنید ، با احتمال P "سر" و احتمال Q = 1 - P "دم". اجازه دهید

• بگذار y_حرف= P (A | x₁،ایکس_حرف). سپسحرف : n = 1, 2, 3, .>یک مارتینگال با توجه بهحرف : n = 1, 2, 3, .>.

• (u polya) یک اورن در ابتدا حاوی تیله های قرمز قرمز و b آبی است. یکی به طور تصادفی انتخاب می شود. سپس آن را به همراه سنگ مرمر دیگری با همان رنگ قرار می دهد. اجازه دهید x_حرفبعد از تکرار این روش ، تعداد تیله های قرمز در u باشید و اجازه دهید y_حرف= x_حرف/(n). سپس دنبالهحرف : n = 1, 2, 3, .>یک مارتینگال است

• (آزمایش نسبتاً احتمال در آمار) تصور می شود که جمعیت با توجه به چگالی احتمال F یا چگالی احتمال دیگر توزیع می شود. یک نمونه تصادفی گرفته می شود ، داده های x₁،ایکس_حرفوادبگذار y_حرف"نسبت احتمال" باشید

• فرض کنید هر آمیب یا به دو آمیب ، با احتمال P تقسیم می شود ، یا در نهایت می میرد ، با احتمال 1 - p. اجازه دهید x_حرفتعداد آمیب های زنده مانده در نسل N (به ویژه x_حرف= 0 اگر جمعیت تا آن زمان منقرض شده است). بگذارید R احتمال انقراض نهایی باشد.(پیدا کردن R به عنوان عملکرد P یک تمرین آموزنده است. نکته: احتمال اینکه فرزندان یک آمیب در نهایت از بین بروند ، برابر است با این احتمال که هر یک از فرزندان فوری آن از بین برود ، با توجه به اینکه آمیب اصلی تقسیم شده است.)

• تعداد افراد هر گونه خاص در اکوسیستم با اندازه ثابت تابعی از زمان (گسسته) است و ممکن است به عنوان دنباله ای از متغیرهای تصادفی مشاهده شود. این سکانس یک مارتینگال تحت نظریه خنثی یکپارچه تنوع زیستی است.

• اگرحرف : t ≥ 0>یک فرآیند پواسون با شدت λ ، سپس فرآیند جبران شده پواسونحرف − λ t : t ≥ 0>یک مارتینگال به موقع با مسیرهای نمونه راست/چپ و چپ است.

Martingales و Stoping Times

زمان توقف با توجه به دنباله ای از متغیرهای تصادفی x₁، ایکس₂، ایکس₃،یک متغیر تصادفی τ با خاصیتی است که برای هر t ، وقوع یا عدم وقوع رویداد τ = t فقط به مقادیر x بستگی دارد₁، ایکس₂، ایکس₃،ایکس_tوادشهود پشت این تعریف این است که در هر زمان خاص ، می توانید تا کنون به دنباله نگاه کنید و بگویید که آیا زمان آن رسیده است. یک نمونه در زندگی واقعی ممکن است زمانی باشد که یک قمارباز جدول قمار را ترک می کند ، که ممکن است تابعی از برنده های قبلی وی باشد (برای مثال ، او ممکن است فقط وقتی که شکسته می شود ترک کند) ، اما او نمی تواند انتخاب کند که برود یابر اساس نتیجه بازی هایی که هنوز بازی نشده است بمانید.

برخی از ریاضیدانان مفهوم متوقف کردن زمان را فقط با نیاز به وقوع یا عدم وقوع رویداد τ = t از نظر احتمالی مستقل از x تعریف کردند_{t + 1}، ایکس_{t + 2}،اما نه این که با تاریخچه روند تا زمان t کاملاً مشخص شود. این یک وضعیت ضعیف تر از آنچه در بند بالا ظاهر می شود ، اما به اندازه کافی قوی است که در برخی از اثبات هایی که در آن زمان توقف استفاده می شود ، خدمت کند.

قضیه توقف اختیاری (یا قضیه نمونه گیری اختیاری) می گوید که در شرایط خاص ، مقدار مورد انتظار یک مارتینگال در زمان توقف برابر با مقدار اولیه آن است. به عنوان مثال ، ما می توانیم از آن استفاده کنیم تا عدم امکان استراتژی های شرط بندی موفق برای یک قمارباز با یک عمر محدود و محدودیت خانه در شرط ها را اثبات کنیم.

Submartingales و Supermartingales

یک subsartingale (زمان گسسته) یک دنباله است$X\_1\; ،\; X\_2\; ،\; X\_3.$متغیرهای تصادفی یکپارچه رضایت بخش

به طور مشابه (یک زمان گسسته) یک ابرقهرمان برآورده می کند

تعاریف کلی تر از هر دو مارتینگال های زمان گسسته و مداوم که قبلاً داده شده است ، می توانند با جایگزینی برابری برای انتظار مشروط توسط یک نابرابری ، به تعاریف مربوط به زیر/سوپرمارتینگال ها تبدیل شوند.

در اینجا یک Mnemonic برای به یاد آوردن آن وجود دارد که: "زندگی یک سوپر حرکتی است ؛ با پیشرفت زمان ، انتظار کاهش می یابد."

نمونه هایی از subartingales و supermartingales

• هر Martingale همچنین یک submartingale و یک ابرخودرو است. برعکس ، هر فرآیند تصادفی که هم یک submartingale باشد و هم یک ابرخودرو یک مارتینگال است.
• هنگامی که سکه به سر می آید ، قماربازی را که 1 دلار برنده می شود ، در نظر بگیرید و وقتی سکه می آید 1 دلار از دست می دهد. فرض کنید اکنون که سکه ممکن است مغرضانه باشد ، به طوری که سر با احتمال ص.
  • اگر P برابر با 1/2 باشد ، قمارباز به طور متوسط نه برنده نمی شود و نه از دست می دهد ، و ثروت قمارباز با گذشت زمان یک مارتینگال است.
  • اگر P کمتر از 1/2 باشد ، قمارباز به طور متوسط پول را از دست می دهد ، و ثروت قمارباز با گذشت زمان یک ابرخودرو است.
  • اگر P از 1/2 بیشتر باشد ، قمارباز به طور متوسط پول برنده می شود ، و ثروت قمارباز با گذشت زمان یک submartingale است.

  یک تعریف کلی تر

  می توان یک مارتینگال را تعریف کرد که یک خانواده غیر قابل شمارش از متغیرهای تصادفی است. همچنین ، این متغیرهای تصادفی ممکن است مقادیر را در یک فضای کلی تر از اعداد واقعی قرار دهند.

  اجازه دهید

  اگر برای هر یک از آنها به عنوان مارتینگیل خوانده می شود$scriptStyle\; u\; in\; v^\; star$وت$scriptStyle\; i\; ،\; j\; in\; mathcal\; با$ ScriptStyle\; I\; leq\; J$،\; سه\; ویژگی\; زیر\; راضی\; هستند:$

  • $scriptStyle\; سمت\; چپ\; (x\_i\; ،\; u\; راست)$است$ScriptStyle\; Mathcal\_i$قابل اندازه گیری
  • $Mathbb\; [\; سمت\; چپ\; (x\_j\; ،\; u\; راست)\; |\; mathcal\_i]\; =\; سمت\; چپ\; (x\_i\; ،\; u\; راست).$

  اگر مجموعه کارگردانی scriptStyle Mathcal یک بازه واقعی (یا کل محور واقعی ، یا یک نیمکسیس) باشد ، یک مارتینگال یک مارتینگال زمان مداوم نامیده می شود. اگر scriptStyle Mathcal مجموعه ای از اعداد طبیعی باشد ، آن را به عنوان یک زمان گسسته Martingale نامیده می شود.