دامنه و دامنه

هنگام کار با توابع ، ما اغلب با دو اصطلاح روبرو می شویم: دامنه و دامنه. دامنه چیست؟دامنه چیست؟چرا مهم هستند؟چگونه می توانیم دامنه و دامنه را برای یک عملکرد معین تعیین کنیم؟

تعریف دامنه

دامنه: مجموعه ای از تمام مقادیر ورودی ممکن (معمولاً متغیر "x") ، که از یک عملکرد خاص یک خروجی معتبر تولید می کند. این مجموعه ای از تمام مقادیر است که یک تابع از نظر ریاضی تعریف می شود. کاملاً متداول است که دامنه مجموعه ای از همه اعداد واقعی باشد زیرا بسیاری از کارکردهای ریاضی می توانند هر ورودی را بپذیرند.

به عنوان مثال ، بسیاری از عملکردهای جبری ساده گرایانه دامنه هایی دارند که به نظر می رسد. واضح. برای عملکرد (f (x) = 2x+1 ) ، دامنه چیست؟چه مقداری می توانیم برای ورودی (x) این عملکرد قرار دهیم؟خوب ، هر چیزی! جواب همه اعداد واقعی است. فقط وقتی به انواع خاصی از عبارات جبری برسیم ، نیاز به محدود کردن دامنه خواهیم داشت.

ما می توانیم دامنه را بصری نیز نشان دهیم. یک معادله خطی ساده مانند نمودار نشان داده شده ، در زیر از عملکرد (y = frac+10 ) در نظر بگیرید. چه مقادیری ورودی های معتبر هستند؟این یک سوال ترفند نیست - هر شماره واقعی یک ورودی ممکن است! دامنه عملکرد همه اعداد واقعی است زیرا هیچ چیز نمی توانید برای X قرار دهید که کار نخواهد کرد. از لحاظ بصری می بینیم که به عنوان خطی که برای همیشه در جهت X (چپ و راست) گسترش می یابد.

برای سایر توابع خطی (خطوط) ، خط ممکن است بسیار ، بسیار شیب دار باشد ، اما اگر تصور می کنید "بزرگنمایی" را به اندازه کافی دور کنید ، در نهایت هر مقدار X در نمودار ظاهر می شود. از طرف دیگر ، یک خط مستقیم و افقی روشن ترین نمونه از یک دامنه نامحدود از همه اعداد واقعی خواهد بود.

چه نوع کارکردهایی دامنه همه اعداد واقعی ندارند؟چه چیزی ما را به عنوان دانش آموزان جبر ، از وارد کردن هر مقدار در ورودی یک عملکرد متوقف می کند؟خوب ، اگر دامنه مجموعه ای از تمام ورودی هایی باشد که عملکرد آن تعریف شده است ، بنابراین منطقی ما به دنبال یک تابع مثال هستیم که برای مقادیر ورودی خاص می شکند. ما به تابعی احتیاج داریم که برای ورودی های خاص ، خروجی معتبر تولید نمی کند ، یعنی عملکرد برای آن ورودی تعریف نشده است. به عنوان مثال:

این عملکرد تقریباً برای هر x واقعی تعریف شده است. اما ، مقدار y هنگام x = 1 چقدر است؟خوب ، این ( frac ) است ، که تعریف نشده است. تقسیم توسط صفر تعریف نشده است. بنابراین 1 در حوزه این عملکرد نیست. ما نمی توانیم از 1 به عنوان ورودی استفاده کنیم ، زیرا عملکرد را می شکند. تمام اعداد واقعی دیگر ورودی های معتبر هستند ، بنابراین دامنه همه اعداد واقعی به جز x = 1 است. منطقی است ، درست است؟

تقسیم توسط صفر یکی از مکان های بسیار رایج است که هنگام حل دامنه یک عملکرد ، به نظر می رسد. به دنبال مکانهایی باشید که می تواند منجر به تقسیم شرایط صفر شود و مقادیر X را که باعث می شود مخرج صفر باشد ، بنویسید. این ارزشهای شما برای حذف دامنه هستند.

اگر تقسیم صفر یک مکان مشترک برای جستجوی محدودیت در دامنه باشد ، احتمالاً علامت "ریشه مربع" احتمالاً دوم است. البته ، ما می دانیم که آن را واقعاً نماد رادیکال نامیده می شود ، اما بدون شک شما آن را علامت ریشه مربع می نامید. چرا این امر باعث ایجاد مشکلات مربوط به دامنه می شود؟زیرا ، حداقل در حوزه اعداد واقعی ، ما نمی توانیم ریشه مربع یک مقدار منفی را حل کنیم.

چه می شود اگر از ما خواسته شود دامنه (f (x) = sqrt ) را پیدا کنیم. چه مقادیری از دامنه حذف می شوند؟هر چیزی کمتر از 2 منجر به تعداد منفی در داخل ریشه مربع می شود که این یک مشکل است. بنابراین دامنه همه اعداد واقعی بزرگتر از یا برابر با 2 است.

چه انواع دیگری از کارکردها دامنه هایی دارند که همه اعداد واقعی نیستند؟برخی از توابع "معکوس" ، مانند توابع ماشه معکوس ، دامنه های محدودی نیز دارند. از آنجا که عملکرد سینوسی فقط می تواند خروجی ا ز-1 تا 1+ داشته باشد ، معکوس آن فقط می تواند ورودی ها ی-1 تا 1 را بپذیرد. دامنه سینوس معکو س-1 تا 1 است. با این حال ، شایع ترین نمونه یک دامنه محدود احتمالاً تقسیم بر شماره صفر است. وقتی از شما خواسته شد دامنه یک تابع را پیدا کنید ، با موارد آسان شروع کنید: ابتدا به دنبال مقادیری باشید که باعث می شود صفر تقسیم شوید. همچنین به یاد داشته باشید که ما نمی توانیم ریشه مربع یک عدد منفی را بگیریم ، بنابراین برای موقعیت هایی که Radicand ("مواد" داخل علامت ریشه مربع) می تواند به یک مقدار منفی منجر شود. در این حالت ، این یک ورودی معتبر نخواهد بود ، بنابراین دامنه چنین مقادیری را شامل نمی شود.

تعریف دامنه

دامنه: دامنه مجموعه ای از تمام مقادیر خروجی ممکن است (معمولاً متغیر Y ، یا گاهی اوقات به عنوان (f (x) ) بیان می شود) که ناشی از استفاده از یک عملکرد خاص است.

دامنه یک تابع ساده و خطی تقریباً همیشه همه اعداد واقعی است. نمودار یک خط معمولی، مانند شکل زیر، برای همیشه در هر دو جهت y (بالا یا پایین) گسترش می یابد. محدوده یک تابع خطی غیر افقی همه اعداد واقعی هستند، مهم نیست که شیب چقدر مسطح به نظر برسد.

یک استثنا قابل توجه وجود دارد: زمانی که y برابر با یک ثابت باشد (مانند (y=4) یا (y=19)). وقتی تابعی دارید که در آن y برابر با یک ثابت است، نمودار شما یک خط واقعاً افقی است، مانند نمودار زیر (y=3). در آن صورت، محدوده فقط همان مقدار یک و تنها است. هیچ مقدار ممکن دیگری نمی تواند از آن تابع خارج شود!

بسیاری از توابع دیگر دارای محدوده محدود هستند. در حالی که فقط تعداد کمی از انواع دامنه های محدودی دارند، اغلب توابعی با محدوده های غیرعادی مشاهده خواهید کرد. در زیر چند نمونه آورده شده است. خط آبی نشان دهنده (y=x^2-2)، در حالی که منحنی قرمز نشان دهنده (y=sin) است.

همانطور که می بینید، این دو تابع دارای محدوده های محدود هستند. مهم نیست که چه مقادیری را در یک تابع سینوسی وارد کنید، هرگز نتیجه ای بزرگتر از 1 یا کمتر ا ز-1 دریافت نمی کنید. مهم نیست که چه مقادیری را در (y=x^2-2) وارد کنید، هرگز نتیجه ای کمتر ا ز-2 نخواهید داشت.

چگونه می توانیم محدوده ای را شناسایی کنیم که همه اعداد واقعی نیستند؟مانند دامنه، ما دو انتخاب داریم. می توانیم به نمودار به صورت بصری (مانند موج سینوسی بالا) نگاه کنیم و ببینیم تابع چه کاری انجام می دهد، سپس محدوده را تعیین کنیم، یا می توانیم آن را از دیدگاه جبری در نظر بگیریم. برای مثال، متغیرهایی که به توان زوج ((x^2)، (x^4) افزایش می یابند، تنها خروجی مثبت دارند. توابع ویژه، مانند توابع مثلثاتی، قطعا خروجی های محدودی خواهند داشت.

خلاصه: دامنه یک تابع تمام مقادیر ورودی ممکن است که تابع برای آنها تعریف شده است و محدوده همه مقادیر خروجی ممکن است.

اگر هنوز گیج هستید، ممکن است سؤال خود را در صفحه پیام ما ارسال کنید یا درس وب سایت دیگری را در مورد دامنه و محدوده مطالعه کنید تا دیدگاه دیگری به دست آورید. یا می توانید از ماشین حساب زیر برای تعیین دامنه و محدوده هر معادله استفاده کنید:

ماشین حساب دامنه و محدوده

خلاصه

ورودی های یک تابع دامنه آن است. خروجی های ممکن محدوده هستند.