حقیقت در مورد مثلث و مربع

این واحد برخی از جبر را شامل می شود که شامل شماره های مثلثی و مربع است.

NA4-9: برای توصیف روابط خطی موجود در تعداد و الگوهای مکانی از نمودارها ، جداول و قوانین استفاده کنید.

• اعداد را به عنوان شماره های مثلثی یا مربع طبقه بندی کنید.
• قوانین کلی را برای شماره های مثلثی و مربع پیدا کنید.
• برای حل مشکلات از شماره های مثلثی و مربع استفاده کنید.

تعداد مثلثی و مربع متعلق به خانواده ای به نام اعداد فیگوری است که از شکل های شکل گرفته شده توسط تعداد خاصی از اشیاء ناشی می شود. اعتقاد بر این است که اعداد فیگوراتیو از انجمن فیثاغور یونان باستان سرچشمه گرفته است (حدود 550-350 قبل از میلاد).

هر دو تعداد مثلثی و مربع به طور مکرر اتفاق می افتند. اعداد مثلثی معمولاً در شرایط احتمالی بوجود می آیند ، که مهمترین آنها در ایجاد تعداد ترکیبات برای مجموعه ای از اشیاء است. اعداد مربع ساده ترین نمونه از یک عملکرد درجه دوم هستند. از توابع درجه دوم غالباً برای الگوبرداری از موقعیت های دنیای واقعی ، مانند مسیرهای توپ در ورزش ، فاصله ترمز اتومبیل ها و ساختارهای پل های تعلیق استفاده می شود.

فرصت های یادگیری در این واحد می تواند با ارائه یا از بین بردن پشتیبانی از دانش آموزان و با تغییر نیازهای کار متفاوت باشد. راه های تمایز شامل موارد زیر است:

• کار با ماشین حساب ها برای کاهش بار محاسبه و تمرکز بر تعمیم.
• با استفاده از بازنمایی های فیزیکی و نمودار در ابتدا قبل از نشان دادن الگوهای نمادین.
• توسعه ابزارهای حمایتی ، مانند جداول ، برای توانمندسازی دانش آموزان برای جستجوی الگوهای.
• تشویق دانش آموزان به پیشرفت از تفکر افزودنی (بازگشتی) با جداول به تفکر ضرب (عملکردی) از طریق تقویت مشکل مشکل و پرسیدن سؤالات پیش بینی.
• برای استفاده از نقاط قوت دانش آموزان ، تفکر تصویری و حسابی را بر روی الگوهای اعمال کنید.

زمینه این واحد اعداد فیله ای است که توسط مثلث ها و مربع ها تشکیل شده است. سازندها معمولاً در تعقیب مانند راهپیمایی ، لحاف و طراحی لینو و موارد انباشته برای نمایش استفاده می شوند. ماهی در مدارس شنا می کند و غازها در گله هایی که شبیه مثلث ها و گیاهان و ماشین ها هستند ، اغلب در آرایه ها قرار می گیرند. زمینه هایی را انتخاب کنید که برای دانش آموزان شما معنی دار باشد و مثلث ها و مربع ها را به عنوان الگوهای مشترک مشخص کنید.

• کاشی های مربع ، پیشخوان یا مکعب های اتصال
• ماشین حساب
• کاغذ شبکه مربع
• Copymasters یک و دو
• پاورپوینت های یک ، دو و سه

جلسه 1

اعداد مثلثی

1. به دانش آموزان یک و دو پاورپوینت یک را نشان دهید. از دانش آموزان سؤال می شود که آیا پشته ها شامل همان تعداد مکعب ها و نحوه شمارش مکعب ها هستند.
2. در مورد روشهای مورد استفاده مانند اضافه کردن لایه های 1 + 2 + 3 + 4 = 10 بحث کنید. اظهار نظر که ده عدد مثلثی است زیرا یک الگوی مثلثی را تشکیل می دهد. ده برابر است که پنج برابر با دو ضرب شده است (2 x 5 = 10 بنویسید). آیا می توانید دو بار در پشته در جایی مشاهده کنید؟
3. دانش آموزان را برای ترسیم یک پشته مثلثی که پنج مکعب ارتفاع دارد ، به چالش بکشید. چند مکعب در پنجمین مثلث بزرگ وجود دارد؟
4. Slide Four دارای پنجمین ترتیب مثلثی است. دانش آموزان فقط ممکن است پنج مثلث اصلی چهار بالا را اضافه کنند. ممکن است مبلغ لایه ها را به عنوان 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 ثبت کنید. آیا مثلث ده بلند 30 مکعب خواهد داشت؟
5. بگذارید دانش آموزان این سؤال را به صورت جفت بحث کنند. از آنجا که رشد خطی نیست (تعداد متفاوتی از مکعب های اضافه شده برای هر لایه) تعداد مکعب های مثلث ده بیش از 30 خواهد بود. پیدا کنید که تعداد مکعب ها برای تهیه شماره مثلثی دهم مورد نیاز است ، این یک الگوی مثلثی است که این استده بلند؟به دانش آموزان اجازه دهید در صورت لزوم به مکعب ها یا پیشخوان ها دسترسی پیدا کنند اما آنها را ترغیب به استفاده از حسابی ذهنی برای یافتن راه حل کنید. در مورد روشهای حل مسئله بحث کنید. دانش آموزان احتمالاً به طور مکرر لایه ها را اضافه می کنند. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +8 +9 + 10 = 55. برخی ممکن است توجه داشته باشند که تشکیل ده ها مفید است ، به عنوان مثال.(1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 10 + 5 = 55.
6. نمایش اسلاید پنج که تعداد چهارم مثلثی را به 2 x 5 = 10 تبدیل می کند. ردیف های پنج چگونه ساخته شده اند؟1 + 2 + 3 + 4 = (1 + 4) + (2 + 3) = 2 × 5 = 10
7. دانش آموزان را ترغیب کنید تا از همان استراتژی جفت شکل برای الگوی دهم استفاده کنند. بگذارید دانش آموزان از مکعب یا پیشخوان استفاده کنند تا نشان دهند که چگونه مثلث دهم می تواند به یک مستطیل تبدیل شود. اسلاید شش تحول را به عنوان یک انیمیشن نشان می دهد.(1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = 5 5 55 = 55
8. دانش آموزان را به چالش بکشید تا لیستی از اعداد مثلثی را تا آنجا که می توانند تهیه کنند ، با اعداد شناخته شده شروع می شوند. 1 ، 3 ، 6 ، 10 ، 15 ،… ، 55 ،…
9. بحث کنید که چه الگویی را می توان مشاهده کرد که به آنها امکان می دهد شماره بعدی را بدون ایجاد شکل با پیشخوان کار کنند. توجه داشته باشید که این الگوی پیش می رود:
10. Slide Seven داستان کارل فردریک گاوس را هنگام کودکی در سن ده سالگی روایت می کند. می توانید با جستجوی "Gauss علاوه بر این" ، فیلم های عالی از داستان را به صورت آنلاین پیدا کنید اما حتماً قبل از نشان دادن روش گاوس ، فیلم را متوقف کنید. چگونه اضافه کردن اعداد 1-100 همان یافتن تعداد مکعب ها در یک مثلث 100 بلند؟
11. دانش آموزان را برای یافتن شماره مثلثی 100 ، یعنی جمع شماره های شمارش به 100: 1 + 2 + 3 +… + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + به چالش بکشید. 98) +… = 50 × 101 = 5050

تعداد مربع

1. برای معرفی الگوی اعداد مربع از اسلایدها هشت و نه استفاده کنید. برای هر تصویر در اسلاید هشت ، از دانش آموزان خود بخواهید که تعداد کل اشیاء را بررسی کنند.

    

جلسه 2

1. مجدداً مجموعه اعداد مثلثی را مجدداً مورد بررسی قرار دهید. پاورپوینت دو ، اسلایدها یک و دو ، یک تحقیق را ارائه می دهد. دانش آموزان ممکن است معنای متوالی را "در کنار یکدیگر" بدانند.
2. از دانش آموزان بخواهید که مبلغ تعداد مثلثی متوالی را تا ده پیدا کنند و نتایج خود را به روشی منظم سازماندهی کنند. مثلا:
3. از دانش آموزان بخواهید هر الگویی را که می بینند توصیف کرده و آن را به عنوان یک ادعا ضبط کنند. به عنوان مثال: یک ادعا کنید: "اگر هر دو شماره مثلثی متوالی را اضافه کنید ، مبالغ یکنواخت ، عجیب و غریب ، عجیب و غریب است."ادعای دو:" اگر هر دو شماره مثلثی متوالی را اضافه کنید ، جمع همیشه یک شماره مربع است. "
4. به دانش آموزان پیشنهاد دهید که آنها باید راهی برای متقاعد کردن دیگران مبنی بر اینکه حدس آنها درست است ، ارائه دهند. استدلال های آنها ممکن است از نمونه های خاص استفاده کند اما باید در همه موارد قابل تعمیم باشد.
5. ادعای یک: اعداد مثلثی در این الگوی پیش می روند:

   1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	.
   فرد	فرد	زوج	زوج	فرد	فرد	زوج	زوج	فرد	فرد	.

"من می دانم که یک عدد عجیب و غریب به علاوه یک عدد عجیب و غریب مبلغ یکنواخت را ارائه می دهد. من می دانم که یک عدد یکنواخت به علاوه یک عدد یکنواخت و حتی جمع می کند. من می توانم به مبالغ تعداد مثلثی متوالی مانند این نگاه کنم: "

"مبالغ مانند آن برای همیشه [بی نهایت] چرخه خواهد بود. اگر من از یک شماره مثلثی عجیب و غریب شروع کنم ، مبالغ یکنواخت ، عجیب و غریب ، یکنواخت ، یا عجیب و غریب ، حتی عجیب و غریب خواهد بود ... اگر من از هر شماره مثلثی شروع کنم ، همین اتفاق می افتد. "توجه داشته باشید که این استدلال مبتنی بر القاء است ، این ایده که اگر الگویی برای یک دنباله صحیح باشد ، می توان آن را بی نهایت برای اعضای بیشتر دنباله تعمیم داد.

ادعای دو: تعداد مثلثی اشیاء را می توان به عنوان مثلث های زاویه دار راست ترتیب داد. اگر دو مثلث متوالی را در کنار هم قرار دهید ، یک مربع تشکیل می دهند. دانش آموزان معمولاً با مشاهدات شروع می کنند ، که هر جفت از شماره های مثلثی متوالی که آنها را به تعداد مربعی می پردازند. آنها ممکن است لیست گسترده ای برای نشان دادن این موضوع ارائه دهند ، امیدوارم با استفاده از صفحه گسترده. در ریاضیات ، مجموعه بزرگی از نتایج حاکی از آن است که یک رابطه دارای آن است ، اما اثبات قطعی نیست. فقط یک نمونه ضد نمونه برای نشان دادن رابطه قابل تعمیم نیست. برای اثبات مجموع دو عدد مثلثی متوالی همیشه یک شماره مربع است که از نظر جبری به تکنیک هایی که در سطوح 5 و 6 آموزش داده می شود ، نیاز دارد. با این حال ، یک اثبات هندسی بسیار در دسترس است.

اسلایدها سه ، چهار و پنج از پاورپوینت دو نمونه ای از نشان دادن مجموع اعداد مثلثی را به صورت هندسی نشان می دهند. به عنوان مثال: این ممکن است به تعمیم آنچه برای هر جفت از تعداد مثلثی متوالی رخ می دهد منجر شود.

اسلاید شش فرآیند را برای هر عدد مثلثی نشان می دهد ،_حرف + ∆ _n+1بشردانش آموزان را بخواهید که از نظر بیان تعمیم خود خاص تر باشند. اگر مقدار N را برای اولین شماره مثلثی می دانید ، به عنوان مثال∆_حرف = ∆ ₁₀، آیا می توانید مبلغ (شماره مربع) را پیش بینی کنید؟

برای تشویق دانش آموزان برای توصیف پیوند بین شماره های مثلثی و شماره های مربع ، به عنوان مثال ، از مثالهای خاص استفاده کنید. 10 + 15 = 25 بنابراین₄ + ∆ ₅= 5 2. از آنها بخواهید که ایده های خود را با کلمات و نمادها بیان کنند ، مانند: اگر اعداد مثلثی دهم و یازدهم هستند ، این مبلغ برابر با یازده مربع است. مجموعه ای از نتایج ممکن است به دانشجویان کمک کند تا الگوی کلی را ببینند.∆₃ + ∆ ₄= 4 2₆ + ∆ ₇= 7 2₁₀ + ∆ ₁₁= 11 2… ∆n+ ∆_n+1= (n+1) 2

اسلایدها شش و هفت مشکلاتی را ایجاد می کنند که یک آرایه مربع به اعداد مثلثی متوالی تقسیم می شود. سعی کنید با استفاده از اطلاعات و لیست شماره های مثلثی ، تعداد نقاط موجود در هر مثلث قرمز و زرد را بفهمید. سعی کنید نقاط را حساب نکنید. برای حل مشکلات کارآمد ، دانش آموزان باید ریشه مربع تعداد کل نقاط را پیدا کنند. به عنوان مثال ، 256 = 16. آنها ممکن است با آن عملکرد در ماشین حساب خود آشنا نباشند. اگر آنها شماره مربع را بدانند ، به عنوان مثالمیدان شانزدهم ، آنها می توانند شماره های مثلثی نهم و (N-1) را جستجو کنند ، به عنوان مثال∆₁₆= 136 و ∆₁₅= 120بررسی نهایی اطمینان از اضافه کردن دو شماره مثلثی به شماره مربع است.

جلسه سه

تعداد مربع

1. از COPYMASTER 1 استفاده کنید تا دنباله ای از مشکلات مربوط به شماره های مربع را در اختیار دانش آموزان قرار دهید. به دانش آموزان اجازه دهید مشکلات را به طور مستقل یا در گروه های تعاونی کوچک حل کنند. کلاس را جمع کنید تا در مورد ویژگی های مشترک مشکلات بحث کنید. مشکلات یک و دو هر دو حاوی الگوی هندسی هستند که در آن تعداد عجیب و غریب مثلث یا مربع به الگوی قبلی اضافه می شود. در نظر گرفتن لایه ها در الگوی مثلثی نشان می دهد که یک ، سپس سه ، سپس پنج ، سپس هفت مثلث اضافه می شود. این خاصیت دنباله اعداد مربع موجود در درس های یک و دو است. دانش آموزان باید بدانند که شماره مربع دهم 100 است ، بنابراین مثلث بزرگ دارای دو طرف ده واحد است. به همین ترتیب ، تنظیم مجدد الگوهای پله نشان می دهد که می توان آنها را در مربع اصلاح کرد. به عنوان مثال ، در اینجا اصلاح پله 4 بلند است.

    

اعداد مثلثی

1. به دانشجویان نسخه های Copymaster دو را ارائه دهید که دارای مشکلات مربوط به شماره های مثلثی است. به آنها اجازه دهید مشکلات را به صورت جداگانه یا در گروه های تعاونی حل کنند.
2. بعد از مدتی کلاس را جمع کنید تا استراتژی های راه حل خود را به اشتراک بگذارند.
3. در حل مشکل ، دانش آموزان ممکن است توجه داشته باشند که جوش ها از الگوهای مثلثی تطبیق تشکیل می دهند که اجازه می دهد از اعداد مثلثی استفاده شود و از یک روش کارآمد برای دریافت پاسخ استفاده شود. به عنوان مثال ، جوش ها برای چهار مربع پیوسته دو برابر تعداد مثلثی سوم (2 6 6 = 12) است. به مدت ده مربع دو برابر شماره مثلثی نهم ، چهل و پنج ، تعداد جوش ها را می دهد (2 x 45 = 90).
4. مشکل دو شامل الگویی است که در آن فاصله بعدی در مارپیچ فاصله قبلی به علاوه یک متر است. دانش آموزان باید تشخیص دهند که این الگوی اختلافات در تعداد مثلثی یافت می شود. از آنجا که آخرین "پا" مارپیچ به طول 14 سانتی متر است ، آنها باید به دنبال شماره مثلثی 14 سانتی متر باشند.
5. این الگوی در مشکلات سه و چهار که شامل ترکیب هستند ، قابل تشخیص است. در مشکل Icecream ، هر طعم جدید تعداد اضافی از بستنی ها را برابر با تعداد قبلی طعم دهنده ها به علاوه یک ایجاد می کند. به عنوان مثال ، ترکیب Uncool با سایر طعم دهنده های X ، Y و Z ، چهار بستر احتمالی دیگر به شما می دهد. آنها Xu ، Yu ، Zu و UU هستند. طعم بعدی Vex با سایرین ترکیب می شود تا پنج ICECREAMS XV ، YV ، ZV ، UV و VV دو قاشق مربا دوتایی دیگر ایجاد کند. تعداد کل یخچال های احتمالی مبلغ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 (شماره مثلثی ششم) خواهد بود.
6. برای حل دو مشکل دیگر می توان از استدلال مشابه استفاده کرد. هر شهر جدید نیاز به تعدادی از جاده ها را که برابر با تعداد شهرهای موجود است ، ایجاد می کند. اضافه کردن اولین شهر جدید ، DAG ، منجر به سه جاده جدید ، AD ، BD و CD می شود. بنابراین تعداد جاده ها با هفت شهر در کل ، مبلغ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 (شماره مثلثی ششم) خواهد بود.
7. مسئله پنجم شامل یک زمینه متفاوت اما همان ریاضیات است که هر شخص جدید اضافه شده باید با هر یک از بازیکنان فعلی بازی کند. تعداد بازی هایی که باید انجام شود ، مبلغ 1 + 2 + 3 +… + 7 + 8 + 9 است. این چهل و پنج ، شماره مثلثی نهم است.
8. مسئله شش کاربرد هندسی از اعداد مثلثی و مربع است. چهار فضای سفید یکسان وجود دارد که پله ها هستند. هر پله را می توان به دو مثلث تقسیم کرد که می تواند به عنوان تشکیل یک مربع نیز به یاد داشته باشد. 15 + 21 = 36 ، شماره مثلثی ششم. چهار فضای خالی وجود دارد ، بنابراین منطقه ای که سایه دار نیست برابر 4 x 36 = 144 است که این نیز یک عدد مربع است.

جلسه چهارم

در این جلسه دانش آموزان دانش خود را در مورد شماره های مثلثی و مربع برای حل مشکلات مربوط به توالی اعمال می کنند. پاورپوینت سه درس را هدایت می کند.

1. اولین دنباله مشکلات مربوط به دانش آموزان ایجاد یک قاعده کلی برای اعداد مثلثی است. نمایش اسلاید یکی. از دانش آموزان خود دعوت کنید تا دریابند که چه تعداد سیب در پشته مستطیل وجود دارد. ایده های آنها را به اشتراک بگذارید.
2. اسلایدها دو و سه دو روش برای حل مسئله ، با ضرب طرفین و تقسیم به اعداد مثلثی نشان می دهند. اسلایدها چهار تا شش نمونه ای ساده تر ، 5 6 6 = 30 در کل ، 2 x 15 = 30 (دو برابر تعداد مثلثی) را ارائه می دهند.
3. Slide Seven دانش آموزان را ملزم به شناسایی تعداد سیب در هر مثلث می کند. تعداد کل موجود در آرایه 11 x 12 = 132 سیب است. هر مثلث نیمی از این کل ، 2 13 22 = 66 است.
4. بگذارید دانش آموزان خود در گروه های کوچک در اسلایدها هشت ، نه و ده کار کنند. راه حل های زیر است.

پشته مثلثی

این الگوی مجموعه اعداد مثلثی است. جدول مقادیر:

از اسلایدهای اول دانش آموزان باید تشخیص دهند که دو نسخه از یک آرایش مثلثی برای تشکیل مستطیل ترکیب می شوند. به عنوان مثال ، دو نسخه از مثلث چهارم یک مستطیل 5 x 4 = 20 تشکیل می دهد. به طور کلی ، دو نسخه از مثلث نهم مستطیل N x (N + 1) را تشکیل می دهد. در معکوس ، برای یافتن شماره مثلثی نهم تقسیم n x (n + 1) به دو.

1. تعداد مثلثی 25 برابر با 2 26 26 ÷ 2 یا (26 × 25 25)/ 2 = 325 است.
2. عدد مثلثی نهم توسط فرمول N (n+1)/ 2 = ∆ داده شده است_حرف .
3. برای پیدا کردن تعداد سیب ها گسترده (N) سپس N (n+1)/ 2 = 210 را حل کنید. یک روش آسان برای انجام این کار ، تخمین اینکه دو عدد کل متوالی به 420 ضرب می شوند. 20 x 21 = 420 بنابراین n باید 20 باشد.

پشته خانه

دانش آموزان ممکن است ارقام را به روش های مختلفی برای حل مشکلات تقسیم کنند. یک راه این است که ارقام را به اعداد مربع و مثلثی جدا کنیم.

1. اگر شکل شماره مربع نهم به علاوه تعداد مثلثی نهم باشد ، شکل 25 از 25 2 +(26 25 25)/ 2 = 625 +325 = 950 سیب ساخته شده است.
2. به طور کلی ، شکل نهم از سیب 2 + N (N + 1)/ 2 ساخته شده است. دانش آموزان پیشرفته ممکن است دوست دارند این عبارت را به (3 N 2 +N)/ 2 ساده کنند اما این مهارت ها در سطح ششم برنامه درسی نیوزیلند پیش بینی می شود.

آرایه صلیب یونانی

1. هر شکل از یک آرایه مربع سیب قرمز و یک آرایه مربع سیب طلایی تشکیل شده است. شکل 25 سیب از 25 2 + 24 2 = 1201 سیب ساخته شده است. 625 سیب طلایی و 576 قرمز خواهد بود.
2. به طور کلی ، رقم نهم از n 2 + (n-1) 2 تشکیل شده است. برای پیدا کردن رقمی که از 761 اپل ساخته شده است N 2 + (N-1) 2. = 761. ساده ترین راه برای انجام این کار جستجوی دو شماره مربع متوالی است که به 761 اضافه می شود. 20 2 = 400. 20 2 + 19 2 = 761 را امتحان کنید. شکل 20 سیب در طول هر طرف است.

چالش نهایی

به عنوان یک مشکل نهایی این چالش را مطرح کنید (به اسلاید یازده سال مراجعه کنید):

کمترین تعداد سیب هایی که برای تغییر این الگوی مثلثی به یک الگوی مربع باید منتقل شوند چیست؟

این الگوی مثلثی را می توان با حرکت تنها چند سیب به یک مربع تغییر داد.

دانش آموزان ممکن است درک کنند که این شکل دارای 36 سیب است که می تواند برای تشکیل یک الگوی مربع 6 6 6 استفاده شود.

با افزایش اندازه یک مربع پیشخوان 6 6 6 بر روی آرایه مثلثی نشان می دهد که فقط شش سیب باید جابجا شوند.