فرمول ضریب همبستگی خطی

از ضرایب همبستگی برای اندازه گیری میزان رابطه قوی بین دو متغیر استفاده می شود. انواع مختلفی از فرمول ها برای به دست آوردن ضریب همبستگی وجود دارد ، یکی از محبوب ترین آنها همبستگی پیرسون (همچنین به عنوان R پیرسون نیز شناخته می شود) که معمولاً برای رگرسیون خطی استفاده می شود. ضریب همبستگی پیرسون با نماد "R" مشخص شده است. فرمول ضریب همبستگی مقدار بین 1 ت ا-1 را برمی گرداند. اینجا،

• 1 نشان دهنده روابط مثبت قوی است
• -1 نشان دهنده روابط منفی قوی است
• و نتیجه صفر به هیچ وجه رابطه ای ندارد

فرمول ضریب همبستگی خطی

ضریب همبستگی خطی به ضریب همبستگی R یا پیرسون پیرسون معروف است. که نشان دهنده جهت و قدرت رابطه خطی بین دو متغیر x و y است. این مقدار بی ن-1 و 1+ را برمی گرداند. در ای ن-1 یک همبستگی منفی قوی نشان می دهد و 1 نشان دهنده همبستگی مثبت قوی است. اگر 0 باشد ، هیچ ارتباطی وجود ندارد. این همچنین به عنوان همبستگی صفر شناخته می شود.

"تخمین های خام" برای تفسیر نقاط قوت همبستگی با استفاده از همبستگی پیرسون:

فرمول مورد استفاده برای به دست آوردن ضریب همبستگی خطی داده ها:

انواع ضرایب همبستگی خطی را توضیح دهید؟

ضریب همبستگی خطی توسط R Pearson منعکس شده است. بنابراین ، مقدار r می تواند بین 1+ و-1 باشد.

سه نوع ضریب همبستگی خطی به شرح زیر وجود دارد:

مقادیر مثبت نشانگر همبستگی مثبت است (0

مقادیر منفی نشانگر همبستگی منفی است (-1r<1)

مقدار 0 نشانگر همبستگی نیست (R = 0)

همبستگی مثبت: در همبستگی مثبت هر دو متغیر در یک جهت حرکت می کنند. اگر یکی افزایش یابد ، دیگری نیز افزایش می یابد و اگر دیگری کاهش یابد نیز کاهش می یابد. هر زمان که R نشان دهنده یک مقدار مثبت باشد ، رابطه مثبت نشان می دهد

همبستگی منفی: در همبستگی منفی هر دو متغیر در جهات مختلف حرکت می کنند. اگر یکی افزایش یابد ، دیگری کاهش می یابد و اگر یکی کاهش یابد دیگر افزایش می یابد. هر وقت R یک مقدار منفی را نشان می دهد ، رابطه منفی را نشان می دهد

هیچ ارتباطی: هنگامی که هیچ ارتباط آماری بین متغیرها وجود ندارد. گفته می شود که آنها هیچ ارتباطی ندارند. در این حالت ، ضریب همبستگی آنها (همچنین به عنوان R نیز شناخته می شود) 0 است.

مشکلات نمونه

مشکل 1: ضریب همبستگی را برای داده های زیر محاسبه کنید:

x = 5 ، 9،14 ، 16

وت

y = 6 ، 10 ، 16 ، 20

راه حل:

y = 15 ، 20 ، 55 ، 10

به ، پیدا کردن ضریب همبستگی متغیرهای زیر در مرحله اول یک جدول به شرح زیر ساخته می شود ، تا مقادیر مورد نیاز در فرمول را نیز به دست آورد و تمام مقادیر موجود در ستون ها را اضافه کنید تا مقادیر استفاده شده در فرمول را بدست آورید

∑xy = 600

∑x = 40

∑y = 50

∑x² = 470

∑y² = 750

n = 4

تمام مقادیر را در فرمول ضریب همبستگی پیرسون قرار دهید:-

r = n (∑xy)-(∑x) (∑y) / √ [n∑x²- (∑x) ²] [n∑y²- (∑y) ²

r = 4 (600)-(40) (50) / √ [4 (470)-(40) ²] [4 (750)-(50) ²]

r = 400 / √ [320] [500]

R = 400/400

R =1

این نشان می دهد که رابطه بین متغیرهای داده ها یک رابطه مثبت بسیار قوی است.

مشکل 2: مقدار ضریب همبستگی را از جدول زیر پیدا کنید:

راه حل:

R = 3202/4972. 238

r = 0. 6439

این نشان می دهد که رابطه بین متغیرهای داده ها یک رابطه مثبت قوی است.

مشکل 3: ضریب همبستگی را برای داده های زیر محاسبه کنید:

x = 21،31،25،40،47،38

وت

y = 70،55،60،78،66،80

راه حل:

متغیرهای داده شده هستند ،

x = 21،31،25،40،47،38

وت

y = 70،55،60،78،66،80

به ، پیدا کردن ضریب همبستگی متغیرهای زیر در مرحله اول یک جدول به شرح زیر ساخته می شود ، تا مقادیر مورد نیاز در فرمول را نیز به دست آورد و تمام مقادیر موجود در ستون ها را اضافه کنید تا مقادیر استفاده شده در فرمول را بدست آورید

X	Y	XY	X²	Y²
21	70	1470	441	4900
31	55	1705	961	3025
25	60	1400	625	3600
40	78	3120	1600	6084
47	66	3102	2209	4356
38	80	3040	1444	6400
202020	409	∑13937	7280	228265

∑xy = 13937

∑x = 202

∑y = 409

∑x² = 7280

∑y² = 28265

n =6

تمام مقادیر را در فرمول ضریب همبستگی پیرسون قرار دهید:-

r = n (∑xy)-(∑x) (∑y) / √ [n∑x²- (∑x) ²] [n∑y²- (∑y) ²

R = 6 (13937)-(202) (409) / √ [6 (7280)-(202) ²] [6 (28265)-(409) ²]

r = 1004 / √ [2876] [2909]

R = 1004 / 2892. 452938

r = -0. 3471

این نشان می دهد که رابطه بین متغیرهای داده ها یک رابطه مثبت متوسط است.

مشکل 4: ضریب همبستگی را برای داده های زیر محاسبه کنید:

x = 12 ، 10 ، 42 ، 27،35،56

وت

y = 13 ، 15 ، 56 ، 34،65،26

راه حل:

متغیرهای داده شده هستند ،

x = 12 ، 10 ، 42 ، 27،35،56

وت

y = 13 ، 15 ، 56 ، 34،65،26

به ، پیدا کردن ضریب همبستگی متغیرهای زیر در مرحله اول یک جدول به شرح زیر ساخته می شود ، تا مقادیر مورد نیاز در فرمول را نیز به دست آورد و تمام مقادیر موجود در ستون ها را اضافه کنید تا مقادیر استفاده شده در فرمول را بدست آورید

X	Y	XY	X²	Y²
12	13	156	144	169
10	15	150	100	225
42	56	2353	1764	3136
27	34	918	729	1156
35	65	2275	1225	4225
56	26	1456	3136	676
182	209	7307	7098	9587

∑xy = 7307

∑x = 182

∑y = 209

∑x² = 7098

∑y² = 9587

n =6

تمام مقادیر را در فرمول ضریب همبستگی پیرسون قرار دهید:-

r = n (∑xy)-(∑x) (∑y) / √ [n∑x²- (∑x) ²] [n∑y²- (∑y) ²

R = 6 (7307)-(182) (209) / √ [6 (7098)-(182) ²] [6 (9587)-(209) ²]

r = 5804 / √ [9464] [13841]

R = 5804/11445. 139

r = 0. 5071

این نشان می دهد که رابطه بین متغیرهای داده ها یک رابطه مثبت قوی است.

مشکل 5: ضریب همبستگی وجود دارد که برای گفتن اینکه آیا متغیرها مثبت هستند یا منفی هستند ، وجود دارد؟

0. 69

0. 42

-0. 23

-0. 99

راه حل:

ضریب همبستگی داده شده به شرح زیر است:

0. 64

0. 46

-0. 29

-0. 95

بگویید که رابطه منفی است یا مثبت

0. 64

رابطه بین متغیرها یک رابطه مثبت قوی است

0. 46

رابطه بین متغیرها یک رابطه مثبت قوی است

-0. 29

رابطه بین متغیرها یک رابطه منفی ضعیف است

-0. 95

رابطه بین متغیرها یک رابطه منفی بسیار قوی است.

مشکل 6: ضریب همبستگی را برای داده های زیر محاسبه کنید:

x = 10 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19

وت

y = 5،10،15،20،25.

راه حل:

متغیرهای داده شده هستند ،

x = 10 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19

وت

y = 5،10،15،20،25.

برای پیدا کردن ضریب همبستگی متغیرهای زیر در مرحله اول یک جدول به شرح زیر ساخته می شود ، تا مقادیر مورد نیاز در فرمول را نیز به دست آورید و تمام مقادیر موجود در ستون ها را اضافه کنید تا مقادیر استفاده شده در فرمول را بدست آورید.

X	Y	XY	X²	Y²
10	5	50	100	25
13	10	130	169	100
15	15	225	225	225
17	20	340	289	400
19	25	475	361	625
74	75	. 1103	11144	∑1375

∑xy = 1103

∑x = 74

∑y = 75

∑x² = 1144

∑y² = 1375

n =5

تمام مقادیر را در فرمول ضریب همبستگی پیرسون قرار دهید:-

r = n (∑xy)-(∑x) (∑y) / √ [n∑x²- (∑x) ²] [n∑y²- (∑y) ²

R = 5 (1103)-(74) (75) / √ [5 (1144)-(74) ²] [5 (1375)-(75) ²]

r = -35 / √ [244] [1250]

r = -35/552. 26

r = 0. 0633

این نشان می دهد که رابطه بین متغیرهای داده ها یک رابطه ناچیز است.

مشکل 7: مقدار ضریب همبستگی را از جدول زیر پیدا کنید:

راه حل:

موضوع	سن x	وزن Y	XY	X²	Y²
1	40	99	3960	1600	9801
2	25	79	1975	625	6241
3	22	69	1518	484	4761
4	54	89	4806	2916	7921
∑	151	336	12259	5625	28724

∑xy = 12258

∑x = 151

∑y = 336

∑x² = 5625

28724

n =4

تمام مقادیر را در فرمول ضریب همبستگی پیرسون قرار دهید:-

r = n (∑xy)-(∑x) (∑y) / √ [n∑x²- (∑x) ²] [n∑y²- (∑y) ²

R = 4 (12258)-(151) (336) / √ [4 (5625)-(151) ²] [4 (28724)-(336) ²]

r = -1704 / √ [-301] [-2000]

r = -1704/775. 886

r = -2. 1961

این نشان می دهد که رابطه بین متغیرهای داده ها یک رابطه منفی بسیار قوی است.